Axiomas, las reglas del juego de matemáticas



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Ernesto Zermelo.
Ernesto Zermelo.imágenes falsas

Un requisito imprescindible para disfrutar del ajedrez – o backgammon, go o damas – es interiorizar las reglas y movimientos básicos de las piezas. Ahorrando distancias, algo similar ocurre con las matemáticas, cuyas reglas básicas se denominan axiomas o postulados. Estos son los principios fundamentales que permiten el desarrollo de las matemáticas, dentro de un marco ontológico coherente. La diferencia fundamental entre axiomas y resultados – o teoremas – es que estos últimos se obtienen de los axiomas utilizando un número finito de deducciones lógicas, mientras que su veracidad es implícitamente asumida por los axiomas, sin intentar probarlos.

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Contrariamente a la opinión común de que todo está prescrito en matemáticas, diferentes elecciones de axiomas pueden conducir a diferentes matemáticas. Entonces, ¿cómo elegimos esos fundamentos sobre los que construiremos el pensamiento matemático? ¿Hay libertad para elegirlos? Lo cierto es que la selección no es fortuita ni aleatoria; Hay dos características clave que se destacan de una buena elección. Por un lado, deben ser leyes naturales e intuitivas que representen el carácter universal de las matemáticas, pero, por otro lado, también deben ser maleables y suficientemente genéricas para permitirnos abordar universos matemáticos inimaginables. En particular, si un axioma puede ser probado por los demás, es redundante e innecesario.

Como cualquier regla o ley, los axiomas no están exentos de ser modificados e incluso rechazados por la comunidad matemática.

Sin embargo, como toda regla o ley, los axiomas no están exentos de ser modificados e incluso rechazados por la comunidad matemática. Un buen ejemplo eso fue lo que pasó con los postulados que planteó Euclides Desarrollar la geometría, en particular, con el axioma paralelo: para un punto externo a una línea recta dada, solo pasa una línea recta paralela. El mismo Euclides evitó usarlo en las primeras proposiciones. Aunque esta afirmación parece obvia e indiscutible, muchos matemáticos han intentado, durante siglos, demostrar que era consecuencia de los otros cuatro axiomas y, por tanto, que era superflua. Sin embargo, de la misma forma que el ajedrez daría lugar a un juego completamente diferente si elimináramos el caballo del juego, al eliminar el quinto postulado de Euclides, apareció una nueva geometría, denominada hiperbólica, calificada como ficticio por sus descubridores János BolyaiNikolai Lobachevsk en el siglo XIX y se utilizó décadas más tarde en la teoría de la relatividad general y la cosmología.

Otro ejemplo de revisionismo de axiomas y metodologías matemáticas dio lugar a la disciplina de la lógica matemática. La llamada crisis fundamental de las matemáticas, nacido a principios del siglo XX, ha cuestionado los fundamentos fundamentales de la disciplina, siguiendo paradojas como la de Baya, propuesto por Bertrand Russell. Esto plantea lo siguiente: Dado que nuestro vocabulario es finito, limita el número de objetos que podemos definir utilizando menos de doce palabras. Entonces, por ejemplo, habrá números naturales que no podemos describir usando menos de 13 palabras. Entonces, consideremos No, el «número natural más pequeño que no podemos describir con menos de trece palabras». Sin embargo, para describir No solo usamos 12 palabras (las que están entre comillas), lo que nos lleva a una contradicción. Una solución a esta paradoja, o falacia del círculo vicioso, es evitar construir colecciones – o conjuntos – de elementos a partir de una oración autorreferencial.

Entonces, ¿qué axiomas nos permiten construir conjuntos? ¿Es posible definir intrínsecamente las nociones de conjuntos y elementos de forma natural e intuitiva? Varios matemáticos de principios del siglo XX propusieron varios tratamientos axiomáticos para tratar de formalizar la teoría de conjuntos, al igual que hizo Euclides con la geometría, con la esperanza de una prueba autosuficiente de la coherencia interna de las matemáticas. Pero, a principios de la década de 1930, el segundo teorema de incompletitud de Kurt Gödel era un cántaro de agua fría para buscar, ya que muestra que no existe un formalismo de teoría de conjuntos global capaz de verificar que no hay contradicciones internas.

El axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos son exactamente iguales cuando contienen los mismos objetos, o elementos, mientras que el axioma del infinito nos permite construir el conjunto de números naturales.

Sin embargo, con una actitud más pragmática hacia las implicaciones filosóficas de los resultados de Gödel, la comunidad matemática de hoy utiliza uno de esos sistemas desarrollados a principios del siglo XX. En concreto, el sistema axiomático ZFC propuesto por Ernst Zermelo en 1908 y mejoró quince días después de Abraham Fraenkelskolem de Thoralf. Entre sus postulados se encuentra el axioma de extensionalidad, que establece que dos conjuntos son exactamente iguales cuando contienen los mismos objetos -o elementos-, así como el axioma del infinito, que permite la construcción del conjunto de números naturales.

Zermelo, quien ocupó una silla de honor en el Universidad de Friburgo, hasta que tuvo que abandonarlo durante el Tercer Reich al negarse a comenzar las clases con el saludo nazi; también formuló el Axioma de elección, que establece que dada una colección de conjuntos no vacíos, es posible elegir un elemento de cada colocar. Este postulado, aunque omnipresente en matemáticas, no fue sin discusión, porque nos permite probar la existencia de objetos matemáticos de una manera no constructiva. En la década de 1930, Kurt Gödel mostrado que el axioma de elección no conduce a ninguna contradicción interna y años más tarde Paul Cohen demostró que no es una consecuencia de los otros axiomas de Zermelo-Fraenkel. En su demostración, Cohen desarrolló una técnica llamada para forzar, por lo que fue galardonado con el Medalla Fields en 1966. Esta poderosa herramienta permite producir, aún hoy, nuevos universos matemáticos con propiedades inesperadas.

Amador Martín Pizarro Es catedrático de la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania).

Daniel Palacin Cruz Es investigador de la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania) y profesor invitado de la Universidad Complutense de Madrid.

Redacción y coordinación: Agata A. Timón G-Longoria (ICMAT)

Café y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que nace, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones social y cultural y recordemos a quienes han marcado su desarrollo y han sabido transformar el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: «Un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas».

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