El oftalmólogo que usó las matemáticas para comprender el astigmatismo



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A la izquierda, una imagen como vería un ojo sin defectos visuales.  Correcto, una simulación de cómo alguien con astigmatismo vería esa misma imagen.
A la izquierda, una imagen como vería un ojo sin defectos visuales. Correcto, una simulación de cómo alguien con astigmatismo vería esa misma imagen.Nancy Zambrano

Si le dijéramos a un oftalmólogo, no a un especialista en óptica, que la geometría diferencial es crucial para comprender la formación de imágenes en el ojo humano, podrían mirarnos con incredulidad. Pero no menos escéptica sería la actitud de un matemático, no de un experto en geometría diferencial, si le dijéramos que un oftalmólogo sueco y premio Nobel de Medicina, Allvar Gullstrand, realizó descubrimientos relevantes en geometría diferencial tratando de comprender, geométricamente, el astigmatismo.

Gullstrand nació el 5 de junio de 1862 en Landskrona, Suecia, y murió el 28 de julio de 1930 en Estocolmo. Como estudiante de secundaria, mostró un gran interés por las matemáticas y, en particular, por la geometría diferencial, que había aprendido por su cuenta y que sería su gran pasión a lo largo de su vida. Sin embargo, aunque planeaba seguir una carrera en ingeniería, eventualmente, influenciado por su padre, eligió estudiar medicina. Después de la graduación se especializa en óptica visual, un espacio a medio camino entre la óptica, la optometría y la oftalmología. Se trata de una rama del conocimiento que estudia el ojo como instrumento óptico, es decir, trata de comprender cómo los elementos ópticos del ojo -córneos y cristalinos- forman imágenes en la retina -la película fotográfica del ojo-.

Uno de los pilares de la óptica geométrica fue el modelo matemático de formación de imágenes en el ojo propuesto por Alhacén en el siglo X.

Uno de los pilares de la óptica geométrica fue el modelo matemático de formación de imágenes en el ojo propuesto por Alhacén en el siglo X, que afirmaba que la observación de un objeto en el ojo formaba una imagen visual que correspondía punto a punto con el objeto contemplado. Por tanto, la visión podría modelarse como una relación entre conjuntos de puntos; en cada punto pag. del objeto real lo hizo corresponder a otro, el punto de la imagen PAG ‘. Esta correspondencia matemática se ha producido desde pag. emitió una Haz principal que, pasando por el centro de la pupila, alcanzó PAG ‘.

Durante los siguientes nueve siglos, se intentó expandir este modelo analizando no solo lo que estaba sucediendo con este rayo principal, sino también con otros rayos que también emanaban de la misma fuente puntual y entraban en el ojo. Ya en el siglo XIX, los investigadores en óptica geométrica observaron que, si eliges unos rayos alrededor de uno de estos rayos principales y estudias lo que sucede en la imagen, pueden ocurrir diversos fenómenos.

Primero, que todos los rayos converjan en un mismo punto ubicado en la retina; entonces se forma una imagen perfecta. En segundo lugar, que el punto de convergencia está frente a la retina y, por tanto, aparece la miopía. Finalmente, que está detrás de la retina, que corresponde a la hipermetropía. En los dos últimos casos, se genera una imagen punteada en la retina en forma circular. Pero, además, también puede ocurrir que los rayos no converjan en un solo punto, y que el desenfoque no tenga forma circular sino elíptica. En esta situación, el eje mayor de la elipse marca la dirección de desenfoque preferida, que se denomina eje del astigmatismo.

Gullstrand estudió en detalle las propiedades geométricas de estos rayos cercanos al rayo principal. En concreto, estudió el frente de onda, una superficie asociada a estos rayos y perpendicular a todos ellos.

Gullstrand estudió en detalle las propiedades geométricas de estos rayos cercanos al rayo principal. En particular, estudió el frente de onda, una superficie asociada a esos rayos y perpendicular a todos ellos. Gullstrand se dio cuenta de que cuando el astigmatismo es cero, lo que en geometría diferencial significa que el frente de onda tiene un punto umbilical-, entonces hay un cambio abrupto – que llamamos singularidad matemáticas – en la región donde convergen los rayos llamada área focal.

Además, Gullstrand analizó y clasificó los diferentes tipos de singularidades matemáticas que aparecen. En concreto, descubrió una forma particular de diferenciar entre diferentes tipos de puntos umbilicales, algo que antes había sido abordado, con menos acierto, solo por el matemático. Jean G. Darboux. Estos resultados fueron contribuciones importantes en geometría diferencial.

Estas y otras contribuciones importantes a la teoría matemática de la imagen dentro del ojo le valieron el premio. Premio Nobel de Medicina en 1911. A pesar de este reconocimiento, el trabajo de Gulltrand no tuvo un gran impacto en la comunidad científica en ese momento. Dos razones lo indican: por un lado, su trabajo se publicó principalmente en sueco; en cambio, cuando trabajaba entre dos campos aparentemente dispares, era incomprendido. Los oftalmólogos tampoco entendieron las matemáticas que incorporaron sus investigaciones; ni siquiera los matemáticos se tomaban muy en serio el trabajo matemático de un oftalmólogo.

Sin embargo, los hallazgos de Gullstrand ejemplifican la importancia para la ciencia moderna de la interdisciplinariedad como generadora de nuevo conocimiento. Otro ejemplo de esto es el trabajo reciente que combina geometría y óptica, en lentes progresivos, que discutiremos en un artículo futuro en esta sección.

Sergio Barbero Es investigador del Instituto de Óptica del Consejo Superior de Investigaciones Científicas.

María del Mar González es investigador de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT

Timon G-Longoria Agata es coordinador de la Unidad de Cultura Matemática de ICMAT y editor y coordinador de esta sección

Café y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que nace, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones social y cultural y recordemos a quienes han marcado su desarrollo y han sabido transformar el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: «Un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas».

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