Embalaje compacto



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Thomas Harriot (1560-1621).
Thomas Harriot (1560-1621).Wikimedia Commons.

El problema del mensaje secreto planteado la semana pasada se resuelve, paradójicamente, haciéndolo más complicado: el caballero agrega un segundo candado a la caja y se lo devuelve a la señora, quien quita el primer candado y se lo devuelve al caballero, quien ahora todo lo que tienes que hacer es abrir la cerradura. Un sistema lento pero seguro, porque todo el tiempo el mensaje está fuera del alcance del mensajero indiscreto.

Si cambiamos los bloques por números primos grandes, tenemos un sistema de cifrado eficaz y muy utilizado. Imaginemos que, en la era anterior a la informática, A quiere compartir dos números secretos con B: 1901 y 2713 (o la diferencia entre los dos: 2713 – 1901 = 812). A multiplica ambos números y envía el resultado a B por correo o teléfono sin miedo, porque incluso si alguien sospecha que 5157413 es el producto de dos números significativos, sin la ayuda de una computadora es extremadamente difícil encontrar estos factores (e incluso con con la ayuda de una computadora, si los primos tienen la edad suficiente). B, a su vez, multiplica el número recibido por otro primo de cuatro dígitos, por ejemplo 1301, y envía el producto, 6709794313, a A, quien lo divide por uno de sus dos primos, por ejemplo 1901, y le envía el resultado a B, que dividido por su primo obtiene el otro primo de A: 3529613/1301 = 2713.

Usé primos de solo cuatro dígitos para ilustrar este sistema criptográfico (conocido como RSA por sus creadores: Rivest, Shamir y Adleman), pero de momento, y dada la enorme potencia informática que alcanzan las computadoras, los números primos utilizados deben ser cientos de figuras para garantizar la seguridad.

En relación con el resto de problemas de la semana pasada, ver el apartado de comentarios correspondiente, donde se han analizado en profundidad.

De cajas a paquetes

Aunque eso no es todo: el problema 2 no merecía la atención de mis astutos lectores, que se centraron en el mensaje secreto y las pelotas viajeras. Sin embargo, es un problema de empaque interesante que propongo nuevamente acompañado de una vista superior de la caja (sin tapa):

En una caja ortédrica hay tres esferas de 10 centímetros de diámetro tangentes entre sí y tangentes a las paredes, base y tapa de la caja. ¿Cuánto miden los lados de la caja?

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Apilar y empaquetar esferas del mismo tamaño ha sido un tema de interés para los matemáticos e ingenieros desde la antigüedad. El matemático y astrónomo británico Thomas Harriot (quien, entre otras cosas, introdujo los símbolos> y

Bajando de 3 dimensiones a 2, el empaque de las esferas en el espacio se convierte en el empaque de los círculos en el plano. Y nuevamente fue Gauss quien demostró que la máxima densidad se obtiene, en este caso, mediante la disposición hexagonal, en la que cada círculo está rodeado por otras 6 tangentes a él. ¿Puede calcular la densidad de este embalaje? Para evitar el efecto distorsionador de los bordes de una superficie real, el problema se coloca en un plano infinito.

Si los círculos así empaquetados fueran elásticos y crecieran presionándose unos contra otros, formarían una celosía hexagonal. Esto es, de hecho, lo que sucede en un panal.

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