Pentágonos y hexágonos



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Como hemos visto en las últimas semanas, la secuencia de los números triangulares es 1, 3, 6, 10, 15, 21 …, y la de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25, 36. .. ¿Cuál será la secuencia de números pentagonales?

Es conveniente comenzar observando que, a diferencia de los números triangulares y cuadrados, los números pentagonales se forman de acuerdo con patrones de contorno.

Para encontrar, por ejemplo, el quinto número pentagonal, comenzamos formando un pentágono regular con 5 puntos por lado, y luego partiendo de uno de los vértices, formamos pentágonos sucesivos de puntos con ese vértice en común, como se ve en la figura , y en este se obtienen los primeros 5 números pentagonales, cada uno de los cuales es la suma de su perímetro más los anteriores. Como en el caso de los triángulos, el primer número pentagonal se considera 1 (el vértice común como un pentágono de lado 0), por lo que la secuencia será:

1, 5, 12, 22, 35 …

¿Cuál es el sexto número pentagonal, el séptimo y el décimo? ¿Existe una fórmula general que nos permita encontrar otro número pentagonal más?

Y viceversa, dado cualquier número, ¿podemos averiguar fácilmente si es pentagonal o no?

Los números hexagonales se construyen como números pentagonales, pero en lugar de pentágonos forman hexágonos sucesivos con un vértice común.

Como puede ver en la figura, la secuencia es:

1, 6, 15, 28 …

¿Cuál es el quinto número hexagonal, sexto y décimo? ¿Existe una fórmula para encontrar otro número hexagonal?

Y viceversa, dado cualquier número, ¿cómo podemos saber si es hexagonal o no?

El siguiente número poligonal es obviamente el heptagonal. La secuencia es:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235 …

Y la fórmula para encontrar otro número heptagonal es: (5n² – 3n) / 2

Aún más simple es la fórmula para números octagonales: 3n² – 2n, cuya secuencia es, por lo tanto:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280 …

La fórmula para los números decagonales es 4n² – 3n, la misma que para los números octagonales con ambos coeficientes incrementados en uno. Y el de los números dodecagonales, 5n² – 4n. ¿Qué nos dice esta secuencia de fórmulas?

Vecinos colaborativos

Pentágonos y hexágonos, además de ser polígonos sucesivos y por tanto dar lugar a números poligonales posteriores, pueden asociarse a superficies de recubrimiento esféricas (convenientemente curvadas), como es evidente en el caso conocido del balón de fútbol. El hexágono regular es, junto con el triángulo equilátero y el cuadrado, uno de los tres polígonos regulares que pueden «flanquear» el plano. El pentágono no puede, pero en asociación con su vecino da lugar a otros revestimientos interesantes.

¿Cuántos pentágonos y hexágonos se necesitan para cubrir la superficie de una esfera? O lo que es lo mismo, ¿de cuántas piezas está hecha una bolsa de fútbol? ¿Es la solución única?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 trabajos científicos populares para adultos, niños y jóvenes, entre los que se encuentran «Física maldita», «Matemáticas malditas» o «El gran juego». Fue el guionista de «La bola de cristal».

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