Redes matemáticas para comprender los conflictos sociales



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Todo el Stark, en el primer capítulo de 'Juego de Tronos'.
Todo el Stark, en el primer capítulo de ‘Juego de Tronos’.

En la famosa serie de televisión Game of Thrones, las diferentes casas nobles del continente llamado Poniente luchan por gobernar los siete reinos que componen el territorio. Para ello, establecen relaciones de alianza y enemistad con otras casas. Si tres casas forman una triple alianza, constituyen un sistema estable, ya que no existen tensiones entre sus componentes. Pero, ¿qué pasa con la estabilidad de los sistemas en los que dos casas aliadas no coinciden en la consideración de una tercera, porque una es amiga y la otra enemiga?

Para estudiar este tipo de sistema, Frank Harary formalizó el concepto matemático de equilibrio en 1954, basado en teoría del equilibrio social por el psicólogo Fritz Heider. Harary propuso describir las relaciones en una red cuyos nodos (puntos) representan las entidades del sistema y los arcos (uniones entre puntos), que llevan signos positivos o negativos, representan las relaciones entre estas entidades. Las relaciones de pacto se identifican con un signo positivo (+) y las de enemistad con un signo negativo (-). En este contexto, un ciclo (es decir, una sucesión de relaciones que comienzan y terminan en el mismo elemento) es equilibrado si el producto de sus signos es positivo. Y si todos los ciclos de una red están equilibrados, entonces la red lo está.

El resultado fundamental de su trabajo fue el teorema del equilibrio estructural, que ofrece una forma de identificar redes balanceadas sin tener que verificar todos sus ciclos uno por uno. Según este teorema, una red con signo está equilibrada siempre que sea posible dividir su conjunto de vértices en dos partes, de modo que cada borde positivo conecte los vértices del mismo subconjunto y los bordes negativos conecten los vértices entre los dos subconjuntos.

Piense, por ejemplo, en las alianzas y conflictos entre las principales potencias europeas entre finales del siglo XIX y principios del XX, representadas en la imagen de abajo. Las relaciones de alianza se representan en azul y las relaciones de enemistad en rojo. Aplicando el teorema anterior se puede determinar que solo con la alianza anglo-rusa de 1907 en la que Gran Bretaña, Rusia y Francia formaron una triple alianza y Alemania, el Imperio Austro-Húngaro e Italia formaron otra, ambos enfrentados, este sistema. Se logró que estuviera equilibrado. Este equilibrio se mantuvo en 1914, cuando estalló la Primera Guerra Mundial (Figura 1).

Figura 1
Figura 1

Además de decidir si una red está equilibrada o no, también es posible cuantificar su grado de equilibrio, como estudió el propio Harary. Se han propuesto varias medidas, pero la mayoría requieren aproximaciones computacionales o no tienen en cuenta todos los ciclos de la red. En 2014, el autor de este artículo y matemático Michele Benzi propuso una caracterización cuantitativa el grado de equilibrio de una red. Esta medida se basa en el cálculo de la espectro de la red.

Para ello, la red se representa en forma de tabla cuyas entradas pueden ser +1, si los pares de nodos correspondientes tienen una relación positiva; -1, si tienen negativo y cero, si no tienen relación. Usando métodos de álgebra lineal, esta tabla se divide en lo que se llama su espectro de valores propios. Aplicando un teorema matemático, sabemos que si partimos de una red inicial balanceada, su espectro es idéntico al de la red que se obtiene al transformar la red, cambiando cada valor negativo por uno positivo. El índice del balance cuantifica con precisión qué tan lejos está el espectro de una red del de la red en la que todas las relaciones son positivas. Por lo tanto, su valor es uno si la red está equilibrada y se acercará a cero a medida que la red se vuelva cada vez menos equilibrada.

Esta caracterización ha permitido descubrir que muchas redes en el mundo real están muy lejos del equilibrio, contrariamente a la hipótesis de Fritz Heider, quien propuso que los sistemas sociales tienden al equilibrio. Por ejemplo, la red de alianzas y conflictos entre las tribus que habitan la región Gahuku-Gama de Papua Nueva Guinea tiene un grado de equilibrio de aproximadamente 1/3. Otras redes, como la formada por votos para elegir administradores de Wikipedia, en la que los enlaces son positivos si ambos votantes votan por el mismo candidato, y negativos si votan en contra, tienen un saldo de 0,00001.

Figura 2
Figura 2

Estas ideas también fueron aplicadas para analizar las redes de alianzas y conflictos entre las diferentes naciones del mundo entre 1938 y 2008, con lo que los datos fueron proporcionados por el investigador Zeev Maoz. Los resultados indican (ver Fig. 2) que el mundo no se dirige hacia un estado de equilibrio. Además, se observa que los períodos de alto grado de equilibrio casi siempre han ido seguidos de conflictos armados de gran envergadura. Es como si el equilibrio de fuerzas les diera a las partes la confianza para exaltarse en la lucha contra los demás. Y por lo tanto, quizás deberíamos evitarlos. Quizás el bajo grado de equilibrio que existía en 1962 obligó a las partes a buscar una solución a la crisis de los misiles cubanos.

Ernesto estrada es profesor de investigación en el Consejo Superior de Investigaciones Científicas para Instituto de Física Interdisciplinaria y Sistemas Complejos, sobre el Universidad de las Islas Baleares en Palma de Mallorca.

Redacción y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Café y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que nace, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones social y cultural y recordemos a quienes han marcado su desarrollo y han sabido transformar el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: «Un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas».

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